Sở Giáo dục - đào tạo
Thái Bình
****
Đề chính thức
Kì thi chọn học sinh giỏi lớp 8
Môn thi: Toán
(thời gian làm bài 120 phút)


Bài 1 ( 5điểm)
Cho biểu thức A = a4 + b4 + c4 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)
1. Phân tích A thành tích các thừa số.
2. Xét dấu của A khi a,b , c là số đo 3 cạnh một tam giác.
Bài 2 ( 4điểm)
Chứng minh không thể tìm được số nguyên x , y , z thoả mãn:

Bài 3 (3điểm)
Cho x + y = 2.
Chứng minh rằng x2003 + y2003 x2004 + y2004.
Bài 4 ( 5điểm)
Đường thẳng d đi qua trọng tâm G của Abc lần lượt cắt các cạnh AB, AC và tia CB tại M, N, và P. Chứng minh:
1
2
Bài 5: (3điểm)
Cho hai điểm A và B cố định . Điểm M di động sao cho MAB có 3 góc nhọn. Gọi H là trực tâm của MAB, K là chân đường cao vẽ từ M xuống cạnh AB của MAB
Tìm vị trí của M để giá trị KM.KH lớn nhất.




Hướng dẫn giải và biểu điểm
Bài
ý
Nội dung
Điểm

Bài 1
1
A = a4 + b4 + c4 + 2a2b2 – 2a2c2 – 2b2c2 – 4a2b2
= (a2 + b2 - c2)2 – (2a2b2)2
= (a2 + b2 - c2 - 2a2b2) (a2 + b2 - c2 + 2a2b2)
= [(a- b)2 – c2)] [(a + b)2 – c2)]
= (a - b – c)(a – b + c)(a + b- c)(a + b + c)
0,5

1
1
1


2
Do a – b – c < 0
a – b + c > 0 ; a + b – c > 0; a + b + c > 0
=> A > 0
1.5

Bài 2

+.Ta có
Vậy luôn chẵn
+ Tương tự luôn chẵn
luôn chẵn, không thể bằng 2003 là số lẻ (đpcm)


1

1

2

Bài 3

Xét ( x2004 + y2004) – (x2003 + y2003) = x2003(x – 1) + y2003 ( y – 1)
= x2003(1 – y) + y2003 ( y – 1)
(do x – 1 = 1 – y)
Vậy ( x2004 + y2004) – (x2003 + y2003) = (1 – y) ( x2003 – y2003)
+.Giả sử x y => x2003 y2003 và x 1 y
do đó (1 – y) ( x2003 – y2003) 0 (đpcm)
+. Tương tự nếu y x => y2003 x2003 và y 1x
do đó (1 – y) ( x2003 – y2003) 0 (đpcm)
(dấu bằng xảy ra khi x = y = 1)


0,5
1

1

0,5

Bài 4
1













+.Vẽ thêm CC2, AA1; BB1 như hình vẽ
+.Chứng minh BB1D = CC1D
=>
2


2
+. Chứng minh tương tự được :
+.Ta tính :

=>




Bài 5

AKH ~ MKB
+) KM.KH = KB.KA

+) Vậy KM.KH lớn nhất bằng khi
K là trung điểm của BC
+.M nằm trên đường trung trực của AB
cách K ( K là TĐ của AB) một khoảng
lớn hơn để MAB nhọn.